Основные материалы

Программа спецкурса
"Математические модели флуктуационных явлений"
(курс 4, семестр 7)

1. Основные понятия описания флуктуационных явл е ний

Детерминированное и стохастическое описание. Функции распределения плотности вероятности. Моментные характеристики; ковариации, корреляции. Характеристическая функция, кумулянты. Многомерное гауссовское распредел е ние. Стационарные случайные процессы (СП) и поля, однородность и изотропность случайных полей. Корреляционная функция стационарного СП и её свойства Теорема Винера – Хинчина. Одномер ная, двумерная и трёхмерная спектральные плотности. Эргодическая теорема и усреднение по времени. Центральная предельная теорема.

2. Модели случа й ных процессов

Гауссовский случайный процесс. Узкополосный стационарный СП; статистич е ские характеристики квадратурных компонент и комплексной амплитуды. Импульсный случайный процесс, пуассоновский процесс. Пуассоновская импульсная последовательность, временные и спектральные характеристики. Формула Шоттки. Случайный телеграфный процесс.

3. Марковские случайные процессы

Предварительные замечания; стохастические дифференциальные уравнения ( CДУ). Марковские процессы; определение и типы процессов. Уравнение Смолуховского - Колмогорова - Чепмена. Дискретный марковский процесс: уравнение Колмогорова. Непрерывный марковский процесс; уравнение Фоккера - Планка (УФП). Винеровский (диффузионный) процесс; УФП и СДУ. Уравнение Ланжевена , урвнение для статистических м о ментов. Вывод УФП на осн о ве уравнения Ланжевена. СДУ с коэффициентом, меняющимся по закону случайного телеграфного процесса, формула дифференцирования. Стохастические интегралы; интегралы Ито и Стратоновича.

4. Флуктуационные явления в линейных системах

Временное и спектральное описания отклика линейных систем. Флуктуации в резонансном RLC - контуре; теорема Найквиста для теплового шума. Нормализация флуктуаций в узкополосных системах. Флуктуации в системах; c периодически модулированными параметрами, формирование сжатого шума. Фильтрация; обнаружение сигнала на фоне шума, согласованный фильтр. Фильтр Кальмана.

 

  • Литература

Основная литература

  1. С.А.Ахманов, Ю.Е.Дьяков, А.С.Чиркин Статистическая радиофизика и оптика. Случайные к о лебания и волны в линейных системах , М.: Физматлит, 2010 (2 - ое издание).
  2. Н.Г. Ван Ка мпен Стохастичекие процессы в физике и химии , М: Высшая школа, 1990.
  3. К.В. Гардинер Стохастические методы в естественных науках , М.: Мир, 1986.
  4. Б.М. Миллер, А.Р. Панков Теория случайных процессов , М.: Физматлит, 2007.
  5. В.С. Пугачёв Теория случ айных функций , М.: Физматгиз, 1962.

Дополнительная литература

  • Д1. С.М.Рытов Введение в статистическую радиофизику , М. Наука, 1976, часть I.
  • Д 2. Р.Л.Стратонович Случайные процессы в динамических системах , М. - Ижевск , ИКИ, 2009.
  • Д3. В.Е. Шапиро, В.М. Логин ов Динамические системы под воздействием случайных влияний , Новосибирск , Наука, 1983.
  • Д4. Ш.М. Коган Электронный шум и флуктуации в твердых телах – М.: Физматлит, 2009.